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domingo, 27 de abril de 2014

CUADRADOS MÁGICOS. LA FASCINACIÓN DE LOS NÚMEROS

Los cuadrados mágicos son tan antiguos como el interés del ser humano por los números. Las primeras referencias de este curioso pasatiempo las encontramos en una escritura china datada en 2200 a.C. Un cuadrado mágico consta de N2 casillas. Cada una de ellas debe estar ocupada por un número distinto. La suma de los números de todas las filas horizontales y verticales, así como la de las diagonales principales, debe ser siempre la misma. Si los números de un cuadrado mágico son todos los comprendidos entre 1 y N2, se dice que el cuadrado mágico es de orden N, y la suma de cada fila y de cada columna es una constante igual a N(N2 + 1)/2. Veamos un sencillísimo ejemplo de cuadrado mágico de 32 casillas, uno de los más simples conocidos, formado por los números del 1 al 9, cuya suma de filas, columnas o diagonales es 15:



En 1514 el gran artista renacentista Alberto Durero , que no solo brilló por su maestría en el dibujo, sino que fue un auténtico sabio de su tiempo, interesado en una infinidad de materias y fanático de las proporciones geométricas y las relaciones numéricas, creó un singular cuadrado mágico de 42. Las filas, las columnas y las diagonales principales suman 34. También suman 34 los números de las cuatro esquinas exteriores (16 + 13 + 4 + 1), y los del cuadrado interior de 2 x 2 (10 + 11 + 6 + 7). Como curiosidad singular, fijaos en que los dos números  centrales de la última fila (15 y 14) forman la cifra 1514, año en que Durero realizó el dibujo. Mirad:


Y si Alberto Durero os parece un genio, ¿qué decir de Benjamin Franklin? Su cuadrado mágico de 82 casillas compuesto en 1769, está repleto de simetrías asombrosas. La suma de cada fila y de cada columna es 260. La suma de la mitad de cada fila o columna es 130,  la mitad de 260. Además, cada una de las filas dobladas suma 260. Los cuadrados marcados en gris constituyen dos ejemplos de filas dobladas. Los cuadrados con borde negro son un ejemplo de fila doblada discontinua (14 + 61 + 64 + 15 + 18 + 33 + 36 + 19), que también suma 260. Los números de las cuatro esquinas sumados a los cuatro números centrales dan como resultado 260. La suma de cualquier subcuadrado de 2 x 2 es 130, y la suma de cuatro números cualesquiera equidistantes del centro del cuadrado también da como resultado 130… A pesar de todas estas extraordinarias simetrías, las diagonales mayores no suman 260, así que el cuadrado de Franklin no cumple las condiciones de un cuadrado mágico convencional. Helo aquí:


Pero el campeón mundial en materia de cuadrados mágicos fue sin duda el matemático francés Bernard Frénicle de Bessy, cuya colección de nada menos que 880 cuadrados mágicos, se publicó póstumamente en 1693. El profe Bigotini os anima a jugar con la magia de los números. Os sugiero que no os limitéis a las matrices cuadradas. Hallaréis simetrías asombrosas si dejáis volar la fantasía y construís prismas o estrellas, por ejemplo. En el universo biológico que se abre a nuestros sentidos y a nuestras mentes más allá del objetivo de los microscopios, encontramos también simetrías fantásticas y relaciones numéricas que nos dejan sin aliento.

Por cierto, como lo prometido es deuda, aquí tenéis otra posible solución con resultado “= 16” del juego de los cuatro cuatros que publicamos el pasado 6 de abril:


Ser ateo es la fórmula más segura de la salvación. Entre tantas religiones, lo más probable es elegir una equivocada, y pasarnos la vida cabreando a Dios cada domingo.