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martes, 24 de febrero de 2015

TRIÁNGULO DE PASCAL. MAGIA COMBINATORIA

El profe Bigotini os presenta hoy otro curioso juguete matemático. Su primer introductor en Europa fue el matemático italiano Niccolo Tartaglia, que lo describió en un tratado del siglo XVI. En la siguiente centuria se popularizó en Francia y en el ámbito anglosajón gracias al filósofo Blaise Pascal, que en 1653 publicó su Tratado del triángulo aritmético, donde dio a conocer la mayor parte de sus innumerables propiedades, por lo que lo conocemos como triángulo de Pascal. Más tarde hemos sabido que el triángulo ya era conocido en Oriente al menos desde cinco siglos atrás. Así, el matemático Al-Karaji, el astrónomo y poeta Omar Jayyam (s. XI), o el sabio Yang Hui (año 1303), se habían referido a él en Persia, India y China.

Niccolo Tartaglia
Se trata de un triángulo, infinito y perfectamente simétrico, compuesto por números enteros. Comienza con un 1 en el vértice o primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos que tiene encima. Se sobreentiende que el exterior del triángulo contiene ceros, de forma que los bordes están formados enteramente por unos. Está claro que el triángulo no tiene fin. Las filas que lo conforman tienden al infinito, puesto que los valores numéricos de los números combinatorios pueden incrementarse indefinidamente.


El triángulo de Pascal presenta una infinidad de aplicaciones en álgebra. Su importancia radica en que en si mismo constituye un universo matemático que esconde una diversidad de propiedades y curiosidades de inmensa utilidad en el campo numérico y en los cálculos probabilísticos. La suma de cada fila es igual al doble de la suma de la fila anterior. La suma de cada fila es igual a 2 elevado al orden de la fila (considerando la primera como de orden cero). Cada una de las filas determina los coeficientes que se pueden obtener al desarrollar el binomio de Newton (a+b)n, y cada uno de los números del triángulo representa el valor de un número combinatorio (si n es la columna y m es la fila, el valor corresponde a las combinaciones de m elementos tomados de n en n). Un primer vistazo al triángulo nos descubre la sucesión de números naturales, de números triangulares y de números tetraédricos. Pero además podemos encontrar los números primos o la sucesión de Fibonacci…

Blaise Pascal
No se trata pues de un simple pasatiempo numérico. Estamos ante un instrumento matemático dotado de fantásticas propiedades. Resulta tanto más admirable si consideramos que se gestó hace al menos un milenio, cuando nuestros semejantes no contaban con más herramientas de computación que los dedos de las manos o un modesto ábaco. Tenían, eso si, la herramienta principal e imprescindible: talento. Y con talento todo es posible, amigos. El profe Bigotini os anima como siempre a utilizar el cerebro. No dejéis que se entumezca. Un ratito de gimnasia diaria le viene la mar de bien. Practicad lo que podáis, porque el conocimiento es la palanca del progreso, y el progreso, la antesala de la felicidad.


Resulta imposible negar la existencia del pensamiento, porque negarlo ya es pensar.