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jueves, 23 de junio de 2016

POLIEDROS, LADRILLOS Y OTROS OBJETOS CURIOSOS


Resulta relativamente fácil unir diferentes polígonos regulares. Seguro que todos habéis visto suelos donde encajan baldosas triangulares, cuadradas, hexagonales... Sin ir más lejos, la arquitectura mudéjar aragonesa está llena de ejemplos magníficos. Os sugiero que busquéis una buena imagen de la fachada lateral de la Seo zaragozana, por ejemplo. Algo más complicado es construir sólidos, pero también puede hacerse. Los balones de fútbol suelen estar formados por pentágonos y hexágonos. Sin embargo, construir un poliedro con un único tipo de polígono regular, resulta mucho más difícil. De hecho, sólo existen cinco formas de hacerlo. Son los llamados poliedros regulares o sólidos platónicos.


Están el tetraedro, formado por cuatro triángulos; el octaedro, que tiene ocho; y el icosaedro, que consta de veinte triángulos equiláteros. Con seis cuadrados se forma el popular y sencillo cubo, también llamado hexaedro. Por último, el dodecaedro se construye con doce pentágonos. Todos ellos pueden utilizarse como dados en los juegos de azar, ya que si están bien construidos, la probabilidad de presentar cualquiera de sus caras es idéntica. Los antiguos griegos estudiaron estos cinco poliedros regulares de forma exhaustiva, a la vez que trataron inútilmente de encontrar otros que cumplieran sus mismas propiedades. Naturalmente, no lo consiguieron, porque es imposible. Platón, nuestro viejo amigo de quien nos ocupamos una vez en este mismo blog (clic aquí para el enlace) mencionó estos poliedros regulares en su diálogo Timeo, por eso suele llamárseles también sólidos platónicos.


Se cree que fue Teeteto, un contemporáneo de Platón, el primero en demostrar la inexistencia de otros poliedros regulares diferentes de los cinco conocidos. El razonamiento que al parecer utilizó, no puede ser más simple: si más de dos polígonos equiláteros coinciden, deben hacerlo en un vértice. En este, la suma de los ángulos de los polígonos coincidentes debe ser menor de 360º. No pueden sumar más, y si la suma fuera 360º justos, tendríamos un plano. Esta restricción resulta insalvable. Todo polígono regular de seis o más lados tiene ángulos de al menos 120º. Por lo tanto, no puede usarse ninguno de ellos. Con triángulos, cuadrados o pentágonos, sólo pueden formarse los cinco que conocemos. Así que ya está. El profe Bigotini os reta a que probéis con hexágonos. Siguiendo el razonamiento anterior, comprenderéis de forma intuitiva que no es posible hacerlo. Con ángulos de 120 o más grados jamás podrá cerrarse el poliedro, al menos en nuestro familiar espacio tridimensional.

Otra curiosidad teórica o utopía geométrica es el célebre ladrillo de Euler, también llamado el ladrillo perfecto. Siguiendo la explicación que nos brinda Richard Elwes en el libro de divulgación matemática dirigido por Richard Brown, es fácil dibujar un rectángulo en el que sus cuatro lados sean números enteros. Algo más difícil es conseguir que su diagonal sea también un número entero. Tomemos un polígono más simple: el cuadrado. En un cuadrado de 1 cm de lado, la diagonal tiene 1,41 cm aproximadamente (exactamente, la raíz cuadrada de 2, según el teorema de Pitágoras). Lo mismo ocurre con todos los cuadrados: si los lados son números enteros, la diagonal no puede serlo.



Esto es igualmente válido para muchos rectángulos, pero hay unos pocos que sí satisfacen esa condición. Uno de 3 x 4 cm tiene una diagonal de 5 cm exactos. Hay otro de 5 x 12 cm, cuya diagonal es 13 cm. El sueño de Euler era un ladrillo (ortoedro) en el que todas las aristas y las diagonales de las caras fueran números enteros. El primero de ellos fue descubierto por Paul Halcke en 1719. Tiene una altura de 44 unidades, una anchura de 117 unidades, y una longitud de 240 unidades, con lo que las diagonales de las caras son 125, 244 y 267 respectivamente. Desde entonces se han descubierto otros, pero queda todavía un reto: que la diagonal interna, que va de uno de los vértices a su opuesto, sea también un número entero. Este sería el utópico ladrillo de Euler o ladrillo perfecto. Por ahora no se ha podido encontrar ninguno, es decir, no sabemos si existe el ladrillo perfecto. Las simulaciones matemáticas por ordenador han llegado de momento a la conclusión de que si existe alguno, el menor de sus lados deberá tener una longitud mayor de 1.000.000.000.000 unidades, la cifra más alta en la que hasta ahora se han quedado los cálculos de las computadoras.

Así que los matemáticos no han encontrado ningún ladrillo perfecto. Habrá que preguntar a los albañiles si han llegado a ver alguno. El profe Bigotini nos pide que concluyamos con esto, no sea que el ladrillo perfecto se convierta en un perfecto ladrillo.

Arquitectura moderna es cuando tienes que mantener cerrada la puerta del lavabo estirando la pierna izquierda.