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lunes, 1 de agosto de 2016

CONJETURAS Y CERTEZAS GEOMÉTRICAS


En matemáticas, en geometría (que viene a ser la matemática del espacio), y en cualquier rama de la ciencia en general, una conjetura es una hipótesis que, aunque tiene muchos visos de verosimilitud, todavía no ha podido ser probada matemáticamente. Por ejemplo la conjetura de Goldbach, enunciada en 1742, dice que todo número par mayor que dos puede escribirse como la suma de dos números primos. Durante casi tres siglos muchos matemáticos han intentado demostrarla sin éxito. Los cálculos con ordenador han comprobado que funciona para todos los números pares menores que un cuatrillón. Eso otorga a la hipótesis bastante credibilidad. Sin embargo, nadie ha conseguido demostrarla matemáticamente. De acuerdo que un cuatrillón es un número muy alto, pero desde él al infinito aun queda mucho camino: exactamente un camino infinito. Así que hasta que no sea probada, la de Goldbach seguirá siendo una conjetura.


¿Cuál es la forma más eficaz de cubrir el plano? O dicho de otra manera, ¿que tipo de forma regular o irregular sirve mejor a este propósito utilizando el borde más pequeño posible? Pappus de Alejandría, que vivió en el siglo IV, aventuró que la forma más eficaz era el hexágono regular. Es lo que se conoce como conjetura del panal. Durante varios siglos se plantearon muchas alternativas, bien con piezas iguales o combinadas, pero ninguna se mostró más eficaz que el hexágono. No fue hasta finales del pasado siglo XX que Thomas Hales halló una demostración formal. Ahora la conjetura de Pappus ha pasado a ser un teorema. Tenemos la certeza de su veracidad. Así pues el alejandrino tenía razón, y a quienes sigáis nuestro blog no os sorprenderá saber que también tienen razón las abejas. Sus panales, construidos a base de hexágonos, resultan la forma más eficaz para contener la mayor cantidad de miel con el menor gasto en cera. Como tantas veces, la naturaleza conoce estas respuestas desde hace millones de años.

Sólido de Kelvin
Otra pregunta: ¿Cuál es la forma capaz de cubrir mayor volumen de espacio tridimensional con un borde más pequeño? La respuesta la dio en forma de conjetura William Thomson, más conocido por su título de lord Kelvin, en 1877: es el octaedro truncado, también llamado sólido de Kelvin, que aparece en la ilustración. Quedó formulada de esta manera la conjetura de Kelvin. Muchos científicos se han esforzado desde entonces en demostrarla, hasta que en fecha tan reciente como 1993, Denis Weaire y Robert Phelan, estudiando la estructura de ciertas espumas mediante métodos cristalográficos, hallaron una estructura tridimensional más eficaz para cubrir el espacio que el famoso octaedro truncado propuesto por Kelvin. Ante el pasmo general, estos dos físicos irlandeses presentaron una estructura compleja formada por dos dodecaedros irregulares y seis tetracaideacaedros (de catorce caras) también irregulares. Es la que podéis ver en la ilustración, que ahora conocemos como estructura de Weaire-Phelan. Como no ha podido ser demostrada, el que esta estructura sea la forma más eficaz de llenar el espacio, sigue siendo una conjetura. Mejor que la de Kelvin, por supuesto, pero todavía conjetura.

Estructura de Weaire-Phelan

Clatratos
Pero lo más curioso es que cuando la pareja presentó formalmente su estructura ante la comunidad científica, hubo varios químicos y muchos geólogos que la reconocieron inmediatamente. Aquello era ni más ni menos que la estructura molecular de los clatratos, unos compuestos tan eficaces para llenar el espacio sin dejar fisuras, que son capaces de contener grandes cantidades de líquidos (agua) o gases (metano) en el interior de rocas y en la profundidad de los mares y los continentes. Como siempre (ya se que lo estabais imaginando) la sabia y asombrosa naturaleza ya se había encargado de inventarla y utilizarla desde el principio de los tiempos.

Si es un milagro cualquier testimonio es suficiente, pero si se trata de un hecho es necesario probarlo. Mark Twain.